Comment rédiger une démonstration de géométrie au collège

On attend que tu partes de ce qui est certain pour arriver à ce qui est demandé, sans trou.

Ce qui est certain, il n'y a que deux sources : les informations écrites dans l'énoncé ou codées sur la figure (un angle droit marqué, des longueurs égales signalées par le même petit trait), et les propriétés du cours.

Ce qui n'est pas certain : tout ce que tu mesures à la règle ou au rapporteur, et tout ce qui « a l'air ». Une figure peut être fausse exprès. Deux droites peuvent sembler parallèles et ne pas l'être d'un demi-degré.

Une démonstration ressemble donc à ce que ferait quelqu'un qui doit convaincre un adversaire de mauvaise foi : chaque affirmation s'appuie sur une donnée ou sur une règle que l'autre ne peut pas refuser.

Chaque étape d'une démonstration se rédige en trois morceaux.

1. Écris « on sait que » et les données utiles

   Les données de l'énoncé qui vont servir, et seulement celles-là.

   Attention aux conditions. Une propriété ne s'applique que dans une situation précise : le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle, celui de Thalès avec deux droites parallèles. Le « on sait que » sert justement à montrer que ces conditions sont réunies.

2. Écris « or » et la propriété du cours

   La propriété est écrite en entier ou désignée par son nom (théorème de Pythagore, réciproque du théorème de Thalès).

   Ce deuxième temps est celui qui manque le plus souvent. Beaucoup de copies passent directement des données à la conclusion. Or c'est la propriété citée qui fait la preuve. Sans elle, ta phrase n'est qu'une affirmation.

3. Écris « donc » et la conclusion

   Ce que la propriété permet d'affirmer avec ces données.

   Les mots peuvent varier selon ton professeur (« d'après », « si… alors », « par conséquent »). L'ordre, lui, ne change pas : les données, la règle, la conclusion.

ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. Démontre que ABC est rectangle.

1. Choisis la réciproque, pas le théorème

   On ne sait pas encore que le triangle est rectangle : on ne peut donc pas utiliser le théorème de Pythagore, qui part d'un triangle rectangle. Il faut sa réciproque, qui y arrive.

2. Repère le plus grand côté et fais les deux calculs séparément

   Voici la rédaction complète. Elle commence par les données et les calculs.

   On sait que, dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC].

   On calcule d'une part : BC² = 10² = 100.

   On calcule d'autre part : AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

   On constate que BC² = AB² + AC².

3. Cite la réciproque, puis conclus

   Or, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et le plus grand côté est son hypoténuse.

   Donc le triangle ABC est rectangle en A.

   Trois détails font la différence entre une copie à moitié juste et une copie complète. Les deux calculs sont faits séparément, puis comparés : écrire tout de suite « BC² = AB² + AC² » reviendrait à supposer ce qu'on veut prouver. Le plus grand côté est repéré dès le début. Et la conclusion précise où se trouve l'angle droit : en A, le sommet opposé au plus grand côté.

   Si les deux résultats avaient été différents, par exemple avec BC = 11 cm (121 d'un côté, 100 de l'autre), tu aurais conclu que le triangle n'est pas rectangle, puisque dans un triangle rectangle l'égalité de Pythagore serait vérifiée.

Dans le triangle ABC, M est un point du côté [AB] et N un point du côté [AC]. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM = 3 cm, AB = 9 cm et AC = 12 cm. Calcule AN.

1. Cite les alignements et le parallélisme

   On sait que M appartient à [AB], que N appartient à [AC] et que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

   Ici, la phrase « on sait que » fait tout le travail de justification : elle cite les deux alignements et le parallélisme, c'est-à-dire exactement les conditions du théorème. Sans elles, ton égalité de rapports sort de nulle part.

2. Écris l'égalité de Thalès et remplace par les valeurs

   Or, d'après le théorème de Thalès, on a : AM / AB = AN / AC = MN / BC.

   Donc, en remplaçant par les valeurs connues : 3 / 9 = AN / 12.

   On en tire : AN = (3 × 12) / 9 = 36 / 9 = 4.

   La longueur AN est de 4 cm.

3. Fais une vérification rapide

   AM est le tiers de AB (3 sur 9), donc AN doit être le tiers de AC : le tiers de 12 fait bien 4. Et N est sur le côté [AC], donc AN doit être plus petit que AC, ce qui est le cas.

1. Pars de la fin

   Regarde ce qu'on te demande de prouver et pose-toi la question : quelles propriétés de mon cours se terminent par cette phrase ?

   Ce qu'on demande	Propriétés à essayer
   Montrer qu'un triangle est rectangle	Réciproque de Pythagore ; triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre
   Calculer une longueur dans un triangle rectangle	Théorème de Pythagore ; trigonométrie (cosinus, sinus, tangente)
   Calculer une longueur avec des parallèles	Théorème de Thalès
   Montrer que deux droites sont parallèles	Réciproque de Thalès ; deux droites perpendiculaires à une même troisième
   Montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme	Diagonales qui se coupent en leur milieu ; côtés opposés parallèles deux à deux
   Calculer un angle	Somme des angles d'un triangle égale à 180° ; trigonométrie

   Recopie ce tableau dans ton cahier et complète-le à chaque nouveau chapitre : il devient ta liste de départ pour n'importe quel exercice.

2. Compare les données de l'énoncé aux conditions

   Ensuite, regarde quelles données de l'énoncé correspondent aux conditions d'une des propriétés. Celle dont tu as toutes les conditions est la bonne.

3. Écris le plan au brouillon quand l'exercice est long

   Quand l'exercice est long, il faut souvent deux étapes : une première démonstration donne un résultat (le triangle est rectangle) qui devient une donnée de la seconde (donc je peux calculer avec la trigonométrie). Écris le plan au brouillon en deux lignes avant de rédiger.

4. Apprends les propriétés mot pour mot

   Les propriétés doivent être sues mot pour mot, conditions comprises. Pour les apprendre, la méthode est dans apprendre et retenir ses formules de maths. Pour vérifier que tu sais les reconnaître dans un énoncé, les exercices de géométrie de GoEduc sont corrigés tout de suite avec l'explication, ce qui permet de voir quelle propriété il fallait choisir.

• Confondre un théorème et sa réciproque. Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur dans un triangle qu'on sait rectangle. Sa réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle.
• Écrire une égalité avant de l'avoir vérifiée, comme dans le premier exemple.
• Oublier une condition : le parallélisme pour Thalès, l'angle droit pour Pythagore.
• Mélanger les notations. AB est une longueur, [AB] un segment, (AB) une droite. Écrire « (AB) = 6 cm » est faux.
• Conclure par un nombre sans unité, ou sans répondre à la question posée.
• Donner une valeur approchée sans le dire : si tu arrondis, écris ≈ et non =.

Relis ta copie avec cette liste. Deux minutes de relecture sur ces six points rattrapent souvent un point entier.

La rédaction s'installe avec l'habitude. Deux démonstrations rédigées en entier chaque semaine valent mieux que dix exercices où tu n'écris que le calcul. Si tu prépares le BEPC, l'article réussir les maths au BEPC déroule un exercice type complet, et progresser en maths quand on a décroché t'aidera si ce sont les bases qui manquent. GoEduc peut servir entre deux séances de rédaction, pour garder les propriétés en mémoire grâce à ses rappels espacés, mais la rédaction elle-même se travaille sur papier.