GoEducComment apprendre et retenir ses formules de maths
Pour retenir une formule de maths, commence par comprendre d'où elle vient, car une formule comprise peut se retrouver si tu l'oublies. Écris-la ensuite sur une carte question-réponse que tu revois à intervalles espacés, et utilise-la le jour même dans deux ou trois exercices. Réciter une liste de formules sans les appliquer ne tient pas jusqu'à l'examen.
Une formule apprise par cœur sans être comprise tient jusqu'au devoir du lendemain, rarement jusqu'à l'examen. Et elle a un défaut plus grave : le jour où tu hésites entre a² + b² et a² + 2ab + b², tu n'as aucun moyen de trancher.
La méthode qui marche tient en quatre gestes : comprendre d'où vient la formule, savoir la retrouver, la faire revenir régulièrement, et s'en servir tout de suite.
Pourquoi tu oublies tes formules d'une semaine à l'autre
La mémoire garde mal ce qui n'a pas de sens pour elle. Une suite de lettres comme « a² - 2ab + b² », c'est pour ton cerveau un numéro de téléphone : il s'efface en quelques jours si rien ne le relie à autre chose.
Deuxième raison : la relecture. Relire dix fois sa liste de formules donne une impression de familiarité (« je les connais, je les ai sous les yeux »), mais reconnaître n'est pas retrouver. En devoir, tu n'as pas la liste. Tu dois sortir la formule d'une tête vide, et ce geste-là ne s'entraîne qu'en le faisant.
Comprendre d'où vient la formule, avec (a + b)²
Prenons l'identité remarquable la plus célèbre.
Écris le carré comme un produit
Un carré, c'est un nombre multiplié par lui-même, donc :
(a + b)² = (a + b) × (a + b)
Développe terme par terme
On développe en multipliant chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde :
(a + b) × (a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b
Regroupe les deux produits du milieu
Or a × a = a², b × b = b², et a × b = b × a = ab. Les deux termes du milieu s'ajoutent : ab + ab = 2ab. On obtient :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Quatre lignes, et tu sais maintenant pourquoi il y a un 2ab au milieu : il vient des deux produits croisés. L'élève qui écrit (a + b)² = a² + b² a oublié ces deux produits. Un test avec des nombres le montre tout de suite : avec a = 1 et b = 2, (1 + 2)² = 9, alors que 1² + 2² = 5.
Vérifie-le sur un dessin
Tu peux aussi le voir en dessin. Trace un carré de côté a + b et coupe-le en quatre morceaux : un carré de côté a, un carré de côté b, et deux rectangles de côtés a et b. L'aire totale est a² + b² + 2ab.
Retrouve les deux autres de la même façon
Les deux autres identités se retrouvent de la même façon, en trente secondes chacune :
- (a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b²
- (a + b)(a - b) = a² - ab + ba - b² = a² - b², puisque -ab + ba = 0
Tu n'as plus trois formules à retenir, mais une seule technique : développer. Le jour du devoir, si tu as un doute, tu refais le calcul au brouillon.
Les formules d'aires et de volumes se retrouvent aussi
En géométrie, la plupart des formules découlent de deux ou trois idées simples. Les connaître réduit beaucoup ce qu'il faut mémoriser.
L'aire d'un rectangle est longueur × largeur. Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle, et plus généralement tout triangle a pour aire base × hauteur ÷ 2. Voilà d'où vient le « divisé par 2 » que tant d'élèves oublient.
Pour les volumes, une seule idée couvre le pavé, le prisme et le cylindre : volume = aire de la base × hauteur. Le cylindre a pour base un disque d'aire π × r², donc son volume est π × r² × h. La pyramide et le cône, qui se terminent en pointe, valent le tiers : aire de la base × hauteur ÷ 3.
| Solide ou figure | Formule | D'où elle vient |
|---|---|---|
| Rectangle | L × l | La base de tout |
| Triangle | base × hauteur ÷ 2 | Moitié d'un rectangle (ou d'un parallélogramme) |
| Disque | π × r² | À savoir par cœur |
| Pavé droit | L × l × h | Aire de la base × hauteur |
| Cylindre | π × r² × h | Aire de la base × hauteur |
| Cône, pyramide | aire de la base × h ÷ 3 | Le tiers du solide « droit » de même base et même hauteur |
| Boule | 4/3 × π × r³ | À savoir par cœur |
Il reste donc très peu de formules à apprendre sans appui : le disque, la boule, le périmètre du cercle (2 × π × r). Pour celles-là, un moyen simple de ne pas confondre aire et périmètre du cercle : une aire se mesure en cm², donc sa formule contient un carré (r²). Un volume se mesure en cm³, la formule de la boule contient r³.
Fais des cartes question-réponse plutôt qu'une liste
Découpe des feuilles en huit, ou utilise le dos de vieilles feuilles. Sur une face, une question. Sur l'autre, la réponse.
Écris la question sous la forme où elle tombera
Par exemple « (a - b)² = ? », mais aussi dans l'autre sens, « a² - b² = ? », parce que factoriser demande de reconnaître la forme développée.
Ajoute des cartes « d'où ça vient »
Par exemple : « Pourquoi y a-t-il 2ab dans (a + b)² ? ».
Teste-toi par écrit
Lis la question, écris la réponse sur un brouillon, puis retourne la carte. Écrire oblige à être précis, là où « je l'avais dans la tête » pardonne tout.
Fais deux tas
Les cartes réussies reviennent dans trois jours, puis une semaine, puis deux. Les cartes ratées reviennent le lendemain.
Reviens-y un peu chaque jour
Dix minutes suffisent, mais tous les jours ou presque.
Ce système de retours espacés a un nom, la répétition espacée, et il est expliqué en détail dans mémoriser longtemps. Tu peux le tenir à la main avec deux enveloppes, ou laisser une appli comme GoEduc s'en charger : elle fait revenir d'elle-même les notions de maths au moment où tu risques de les oublier.
Une limite à connaître : les cartes entretiennent la mémoire, elles n'apprennent pas à résoudre un problème. Elles vont avec les exercices, pas à leur place.
Utilise la formule le jour même
Une formule qu'on vient d'apprendre doit servir dans l'heure. Fais deux ou trois exercices courts où elle intervient, y compris à l'envers.
Entraîne-toi dans les deux sens sur les identités
Avec les identités remarquables, par exemple :
- Calcule 103² de tête. 103² = (100 + 3)² = 100² + 2 × 100 × 3 + 3² = 10 000 + 600 + 9 = 10 609.
- Calcule 98 × 102. C'est (100 - 2)(100 + 2) = 100² - 2² = 10 000 - 4 = 9 996.
- Développe (2x + 3)². Ici a = 2x et b = 3 : (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9. Le piège : (2x)² vaut 4x², pas 2x².
- Factorise x² - 9. On reconnaît a² - b² avec a = x et b = 3 : (x + 3)(x - 3).
Fais un calcul de volume en entier
Un cylindre a un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Son volume est π × 3² × 10 = 90π, soit environ 282,7 cm³. Un cône de même base et de même hauteur a un volume trois fois plus petit : 30π, environ 94,2 cm³.
Repère les étourderies dans ton calcul
Remarque ce qui s'est passé dans le calcul du cylindre : le rayon est au carré, pas le produit π × r. Et si l'énoncé donne le diamètre (6 cm), il faut d'abord le diviser par 2. Ces deux étourderies font perdre plus de points que l'oubli de la formule elle-même.
Que faire la veille d'un devoir ?
Écris toutes les formules sur une feuille blanche
Prends une feuille blanche et écris de mémoire toutes les formules du chapitre, sans regarder. Compare ensuite avec ton cours. Celles qui manquent ou qui sont fausses, tu les retravailles : tu refais la démonstration courte si elle existe, puis un exercice.
Note au brouillon les formules qui te font peur
Le jour du devoir, dès que le sujet est distribué, tu peux écrire au brouillon les deux ou trois formules qui te font peur avant de commencer. Ta tête est libérée, et tu ne risques plus de les déformer sous la pression à la fin de l'épreuve.
Range le tout sur une fiche par chapitre
Pour ranger tout cela proprement, une fiche par chapitre aide beaucoup : voir faire une fiche de révision. Et si ton souci est plus large que les formules, commence par progresser en maths.
Questions fréquentes
Comment retenir les identités remarquables ?
Retiens surtout la façon de les retrouver : (a + b)² = (a + b)(a + b), que tu développes en a² + 2ab + b². Entraîne-toi ensuite dans les deux sens, développer et factoriser, sur une dizaine d'exemples. Des cartes question-réponse revues à intervalles espacés les fixent pour de bon.
Faut-il apprendre les formules de maths par cœur ?
Oui, mais après les avoir comprises. Le par cœur seul lâche sous le stress, alors qu'une formule comprise peut être reconstruite au brouillon. Quelques formules n'ont pas de démonstration simple à ton niveau, comme l'aire du disque ou le volume de la boule : celles-là s'apprennent telles quelles.
Combien de temps faut-il pour mémoriser une formule ?
Quelques minutes pour l'apprendre, mais plusieurs rappels pour la garder : le lendemain, trois jours après, une semaine après, puis deux semaines. Chaque rappel prend moins d'une minute par formule. Sans ces retours, elle s'efface en quelques jours.
Comment ne plus confondre les formules d'aire et de périmètre ?
Regarde l'unité. Un périmètre est une longueur (cm) : sa formule ne contient pas de carré, comme 2 × π × r. Une aire est en cm² : sa formule multiplie deux longueurs, comme π × r² ou L × l. Un volume, en cm³, en multiplie trois.
Peut-on avoir un formulaire le jour de l'examen ?
Cela dépend du pays, de la série et de l'année : certains sujets fournissent quelques formules, la plupart n'en donnent pas. Vérifie auprès de ton établissement, et prépare-toi comme si tu n'avais rien. Même avec un formulaire, il faut savoir quelle formule choisir et comment l'appliquer.
Conseils
- En cas de doute pendant un devoir, redéveloppe (a + b)(a + b) au brouillon : c'est plus sûr que de deviner.
- Teste une formule avec de petits nombres, comme a = 1 et b = 2, pour voir tout de suite si elle tient.
- Regarde l'unité pour choisir la formule : cm pour un périmètre, cm² pour une aire, cm³ pour un volume.
- Pour appliquer une formule le jour même, les exercices de maths de GoEduc sont corrigés tout de suite, avec l'explication.
Avertissements
- Ne te contente pas de réciter ta liste : une formule jamais appliquée ne tient pas jusqu'à l'examen.
- Si l'énoncé donne le diamètre, divise-le par 2 avant de calculer une aire ou un volume.
- Ne compte pas sur un formulaire le jour de l'examen : la plupart des sujets n'en donnent pas.